Estadística
   
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MEDIDAS NUMERICAS DESCRIPTIVAS

 
 
( Variables Cuantitativas )
INTRODUCCIÓN
 
  • Medidas de Tendencia Central
  • Medidas de Variación
  • Medidas de Forma
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La mayoría de los levantamientos de encuestas mantienen una tendencia bien definida a agruparse o aglomerarse alrededor de cierto punto central. Siempre se puede obtener un valor típico que representa o describe a todos los demás datos de la muestra

Las principales medidas de tendencia central son:
  • Media Aritmética
  • Mediana
  • Moda
  • Cuartiles

MEDIA ARITMÉTICA

Es la medida de tendencia central más utilizada, también se le conoce con el nombre de Promedio.
Para calcular la media aritmética, se suman todos los datos de la muestra y el resultado se divide entre el total de datos.

Representa el punto de equilibrio de un conjunto de datos numéricos. La media aritmética puede ser calculada para una muestra o para una población; la simbología de la media aritmética es la siguiente:
Media aritmética para una población
: Media Aritmética Poblacional
Media aritmética para una muestra
: Media Aritmética Muestral
La fórmula para calcular la media aritmética es la siguiente:

Es decir, sume todos los datos de la muestra y el resultado lo divide entre el número de encuestas

Media Aritmética

EJEMPLO
Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de su casa. A lo largo de 10 días hábiles consecutivo, Usted cronometró el tiempo (rendodeado en minutos) que tardó en arreglarse y los resultados obtenidos fueron los siguientes.
39
29
43
52
39
44
40
31
44
35
Calcular el tiempo promedio que tarda en arreglarse.
 

Desarrollo: Se suman todos lo minutos que cronometró en los 10 días y el resultado se divide entre 10.

En promedio tarda 40 minutos en arreglarse.

EJEMPLO
Un fabricante de baterías para linternas tomó una muestra de 13 baterías en un día de producción y las usó hasta que se agotaron. Las horas que funcionaron sin fallar fueron las siguientes:
342
426
317
545
264
451
1049
631
512
266
492
562
298

 

 

¿En promedio cuántas horas duraronn las linternas de la muestra?
 
Desarrollo: Se suman las duraciones de las 13 linternas y el resultado se divide entre 13.

Media=473.46

En promedio, las baterías de la muestra tuvieron una duración de 473.46 horas.

 

MEDIANA

Es el valor medio de un arreglo ordenado (datos numéricos). Si no hay empates, la primera mitad de las observaciones será menor que la mediana y la segunda mitad será mayor que la mediana.
Si un valor extremo se presenta en una secuencia de datos, es mejor utilizar la mediana. La mediana es el valor que tiene a su izquierda el 50% de los datos menores y a su derecha el 50% de los datos mayores.
No hay una fórmula definida para el cálculo de la mediana; sin embargo, si se conoce la posición del dato o datos central(les) se hace el cálculo de inmediato. Para conocer la posición del dato central se sigue la siguiente fórmula:
Fórmula Mediana

El resultado puede ser un número entero o un número decimal, en este caso se aplica uno de los siguientes criterios.

  • Si el resultado es un número entero, el resultado de la mediana es el valor que se encuentre en esa posición
  • Si el resultado es un número decimal, se toman los dos números enteros que están a ambos lados, se suman y su resultado se divide entre 2 (es decir, se le calcula el valor promedio o media aritmética)
Es importante recordar que para el cálculo de la mediana, los datos de la muestra deben estar ordenados.
EJEMPLO 1
Se toma una muestra de la estatura de 15 atletas que participan en los juegos panamericanos y se quiere determinar la estatura mediana del equpo. Los datos de la muestra (en años) es la siguiente:
1.67
1.80
1.75
1.50
1.90
1.74
1.75
1.86
1.76
1.75
1.91
1.75
1.73
1.70
1.72
La muestra de 15 datos no está ordenada de menor a mayor, proceder a ordenarla.
1.50
1.67
1.70
1.72
1.73
1.74
1.75
1.75
1.75
1.75
1.76
1.80
1.86
1.90
1.91

Aplicar la fórmula para n=15

Cálculo Mediana 1

En la muestra ordenada buscar la posición # 8
1.50
1.67
1.70
1.72
1.73
1.74
1.75
1.75
1.75
1.75
1.76
1.80
1.86
1.90
1.91
Ahora cuente el número de datos que están antes de 1.75 y el número de datos después de 1.75
Mediana
Antes de la mediana hay 7 datos y después también hay 7; esto significa que a la izquierda de la mediana tenemos el 50% de los datos y a la derecha el otro 50%.
La edad mediana es 1.75 cms
 
EJEMPLO 2
Suponga que la muestra está integrada por los valores netos de los activos de 14 fondos de acciones generales nacionales, que están clasificados como fondos mixtos de capitalización pequeña. Los datos sin procesar, que presentan los valores netos de activos (en dólares) para estos fondos, son los siguientes:
7.35
17.30
11.62
26.10
21.69
21.17
14.07
14.09
24.01
20.34
18.26
37.61
18.60
16.95
La muestra de 14 datos no está ordenada de menor a mayor, proceder a ordenarla.
7.35
11.62
14.07
14.09
16.95
17.30
18.26
18.60
20.34
21.17
21.69
24.01
26.10
37.61

Aplicar la fórmula para n=14:

Mediana

El número real 7.5 está entre 7 y 8
Mediana
En la muestra ordenada buscar la posición #7 y la posición #8
7.35
11.62
14.07
14.09
16.95
17.30
18.26
18.60
20.34
21.17
21.69
24.01
26.10
37.61
La posición 7 está ocupada por $18.26 y la 8 por $18.60, el siguiente paso es calcular el promedio de ambos datos.
Mediana
La mediana es 18.43 dólares.
 

MODA

Es el valor que aparece con mayor frecuencia en una muestra. La ocurrencia de un dato extremo no afecta el resultado de la moda. De igual manera puede suceder que:
  • La moda esté en los extremos
  • Haya más de una moda
  • La moda no exista
Para la moda no hay una fórmula, pero su símbolo es el siguiente:

Moda

EJEMPLO 1
En una fábrica de zapatos se toma una muestra de 10 pares de sandalias para determinar cúal es el número de sandalia que más se produce por área. Los datos de la muestra obtenida son:
8
5
7
6
7
5
8
9
5
6
  • Si se ordena la muestra, resulta lo siguiente:
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
  • Al revisar la frecuencia de cada uno de los números producidos se observa lo siguiente
    • Sandalia #5 son 3 pares
    • Sandalia #6 son 2 pares
    • Sandalia #7 son 2 pares
    • Sandalia #8 son 2 pares
    • Sandalia #9 es 1 par

El número de sandalia que más se produjo en la muestra es el número 5, por lo tanto la moda es 5, el resultado se representa así:

Moda
EJEMPLO 2
En una ciudad grande los alquileres varían dependiendo del área de residencia. Se toma una muestra de 10 apatamentos sin amueblar, tanto en el área del centro como en las colonias de la ciudad. Se quiere determinar cuál es el precio que más se cotiza, tanto en el centro como en las colonias. Los datos de las muestra están en dólares y son:

Apartamentos en el centro de la ciudad

955

1000
985
980
940
985
965
985
1247
1119

Apartamentos en las colonias

750
775
725
705
694
725
690
745
575
800
  • Al ordenar las muestras se obtiene el siguiente resultado:

940

955
965
980
985
985
985
1000
1119
1247
 
575
690
694
705
725
725
745
750
775
800
  • En la muestra de apartamentos en el centro de la ciudad, el dato que más se repite es 985.
  • En la muestra de apartamentos en las colonias el dato que más se repite es 725.
Moda
 

CUANTILES

Los cuantiles son medidas de posición "no central" que se utilizan conmayor frecuencia y se emplean sobre todo para resumir o describir las propiedades de conjuntos grandes de datos numéricos. Los tipos de cuantiles se catalogan como:
  • Cuartiles
  • Deciles
  • Percentiles

CUARTILES

De la misma manera que la mediana divide un conjunto de datos en dos grupos iguales, los cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales. Cada grupo está formado por 25% de los datos de la muestra.
Gráfica en Cuartiles
La obtención de los cuartiles depende del número de datos de la muestra; se utiliza el mismo concepto del cálculo de la mediana. Para cada cuartil se diseña una fórmula y éstos van de 1 a 3; aunque podemos tener una común.
La i toma el valor del cuartil que se elige, ya sea 1, 2 ó 3
EJEMPLO
La muestra de los valores netos de los activos de 17 fondos de acciones generales están clasificados como fondos mixtos de capitalización pequeña. Los datos sin procesar presentan los valores netos de activos (en dólares) para estos fondos y son:
10.0
20.6
28.6
28.6
29.4
29.5
29.9
30.1
30.5
30.5
32.1
32.2
32.4
33.0
35.2
37.1
38.0
  • Calcular el cuartil 1

El 25% de los fondos mixtos de capitalización pequeña tienen un redimiento anual menor de US$29.00

  • Calcular el cuartil 3

El 75% de los fondos mixtos de capitalización pequeña tienen un rendimiento anual de US$32.7

  • Calcular el cuartil 2

El 50% de los fondos mixtos de capitalización pequeña tienen un rendimiento anual menos de US$30.50

OTROS CUANTILES
Deciles
Dividen la muestra en 10 partes iguales
Percentiles
Dividen la muestra en 100 partes iguales

 

 

           
 

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1 - 2008